第134章 迷宫（2 / 2）

孪生结构的定义是设(m,w)是一个辛流形，l1和l2是两个拉格朗日子流形。

如果存在一个辛同胚φ:m→m，使得φ(l1)=l2，且φ^2=id，则称(l1,l2)构成一个孪生结构。

现在，把x看作一个辛流形。把每个素数p对应的“点”看作一个零维拉格朗日子流形。

那么，孪生素数对(p,p+2)对应於一对拉格朗日子流形，它们之间由一个特定的辛同胚相联繫。

这个辛同胚是什么？

肖宿放下笔沉思了会儿。

在数轴上，从p到p+2是一个平移。

在x中，这个平移应该对应於一个变换t，它在每个p进分量上的作用是t(x)=x+2。

t是一个辛同胚吗？在顾—辛框架的辛结构中，平移確实是辛同胚，因为辛形式是平移不变的。

所以t是辛同胚。

那么t^2就是平移4，不是恆等映射。

所以不满足φ^2=id的条件。

也许不是要求φ^2=id，而是要求φ和某个对合变换的复合是id？

肖宿继续思考。

设s是某个对合变换，比如s(x)=—x。那么如果t°s是id，则t=s。

这不可能。

如果s°t°s=t^{—1}？

这有点像辛几何中的某种对偶关係。

也许这就是关键。

肖宿开始重新表述问题。

在顾—辛框架中，任何一个辛流形都有三个基本不变量：旋转守恆量、层次结构指数、可计算性度量。

对於x这个特殊的辛流形，它的旋转守恆量应该与素数分布有关。

如果我能够证明，在x中，由孪生素数条件所定义的子集具有非零的旋转守恆量，那么这个守恆量的存在就会强制要求孪生素数有无穷多对，就像角动量守恆强制要求旋转体不能停止一样。

这个想法让肖宿眼前一亮。

他继续在纸上推导起来。

第一步就是构造x上的辛形式。

这需要用到顾—辛框架中的標准方法，通过对每个p进分量赋予一个权重，然后取某种直和。

具体来说，设w_p是第p个分量上的標准辛形式，在p进数域上，辛形式可以定义为w_p(x,y)=|xyxy|_p，但需要適当正规化。

然后定义总辛形式为Ω=Σλ_pw_p，其中λ_p是权重係数。

权重係数需要满足某些条件，比如使得Ω是良定义的，即级数收敛，並且使得平移变换保持Ω。

肖宿尝试设λ_p=1/(plogp)。

这样Σλ_p收敛，因为Σ1/(plogp)发散？

不，Σ1/(plogp)是发散的，积分∫dx/(xlogx)发散。

所以需要衰减得更快。

λ_p=1/(p(logp)^2)？

这个级数收敛，因为∫dx/(x(logx)^2)收敛。

好，就用这个。

第二步是定义孪生结构。

设l_p是x中对应於素数p的点，即第p个分量为p，其他分量为0的嵌入像。

那么对於孪生素数对(p,p+2)，我们有一对点(l_p,l_{p+2})。

现在考虑变换t:x→x+2。

这是一个辛同胚，因为Ω是平移不变的。

考虑对合变换s:x→—x。

s也是辛同胚，如果Ω是偶函数的话，这还需要验证，但暂时假设成立。

那么s°t是一个变换，它把x映到—x—2。

这个变换的平方是？

(s°t)^2=s°t°s°t=s°(t°s°t)。t°s°t把x映到t°s(t(x))=t°s(x+2)=t(—x—2)=—x。

所以t°s°t=—id。

因此(s°t)^2=s°(—id)=—s。

这不是恆等映射。

有点乱。

肖宿意识到，可能还需要更系统的分析。