第33章 不到一小时你就交卷？（2 / 2）

楚若然手指转著笔尖，视线扫过试题。

【有6个相同的球，分別標有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的隨机取两次，每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”......】

他快速扫过题干，心里把整个样本空间列好：所有可能的结果是有序对(i，j)(i，j)(i，j)，其中i，j∈{1，2，3，4，5，6}i，j∈\{1，2，3，4，5，6\}i，j∈{1，2，3，4，5，6}，一共36种情况。

“先算各个事件的概率。”

甲：第一次取出的数字是1，可能结果有6种。概率p(a)=6/36=1/6p(a)=6/36=1/6p(a)=6/36=1/6。

乙：第二次取出的数字是2，同理概率也是1/61/61/6。

丙：两次数字和为8，对应(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)，共5种，概率5/365/365/36。

丁：两次数字和为7，对应(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)，共6种，概率6/36=1/66/36=1/66/36=1/6。

他停顿了一下，心里默念：“接下来就看哪些事件是独立的。”

甲和丙——第一次取1，不可能再和成8。交集为零，不独立。

甲和丁——第一次取1，若第二次取6，刚好和为7。交集只有一种情况，概率1/361/361/36。而p(a)?p(d)=1/6?1/6=1/36p(a)·p(d)=1/6·1/6=1/36p(a)?p(d)=1/6?1/6=1/36，完全相等。独立。

乙和丙——第二次取2，若想和为8，第一次必须是6。概率1/361/361/36。但p(b)?p(c)=1/6?5/36=5/216p(b)·p(c)=1/6·5/36=5/216p(b)?p(c)=1/6?5/36=5/216，显然不等，不独立。

丙和丁——一个和是8，一个和是7，互斥事件，不独立。

楚若然笔尖写下答案：b（甲与丁相互独立）。

......

【已知点p(cosθ，sinθ)，q(cos(θ+π/6)，sin(θ+π/6))，若p、q关於y轴对称，求满足条件的θ】

“关於y轴对称就是横坐標变號，(x，y)→(-x，y)。所以条件等价於：cos(θ+π/6)=-cosθ，sin(θ+π/6)=sinθ。

把公式展开：sin(θ+π/6)=sinθ·cos(π/6)+cosθ·sin(π/6)。

“也就是(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ=sinθ。移项：(√3/2-1)sinθ+(1/2)cosθ=0。”

“那就是cosθ=(2-√3)sinθ。所以tanθ=sinθ/cosθ=1/(2-√3)。”

“再有理化一下，等於2+√3。嗯，tan75°=2+√3。所以θ=5π/12+kπ，k∈z。”

他又代回第一个条件：cos(θ+π/6)=-cosθ，也完全成立。

楚若然提笔写下：θ=5π/12+kπ。

......

“压轴题.....”楚若然看著第22题。

【已知函数f(x)=x(1-lnx)

(1)討论f(x)的单调性；

(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b】

第一问函数单调性，他写下导数：令f'(x)=0，即-lnx=0，解得x=1。

当0<x<1时，lnx<0，所以f'(x)>0，函数单调递增；

当x>1时，lnx>0，所以f'(x)<0，函数单调递减。

因此，f(x)在(0，1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减。

“很简单，下一问。”

由条件blna-alnb=a-b变形可得：(lna-lnb)/(a-b)=1/(ab)。

设ξ介於a与b之间，由拉格朗日中值定理有：(lna-lnb)/(a-b)=1/ξ。

因此1/ξ=1/(ab)，即ξ=ab。

1/a+1/b=(a+b)/(ab)，需证2<(a+b)/(ab)<e。

楚若然快速写下：由f(a)=f(b)及f(x)的单调性，设0<a<1<b。

因为f(1)=1是最大值，f(e)=0，所以a在(0，1)內，b在(1，e)內。

纸上很快出现一行新的式子：令u=1/a，v=1/b，则u>1，v在(1/e，1)內。

“要证的就是2<u+v<e。由f(a)=f(b)，可得(1/u)(1+lnu)=(1/v)(1+lnv)。”

“整理得到u(1+lnv)=v(1+lnu)。通过分析函数性质或对称性，可证得u+v>2且u+v<e。”

楚若然长长呼出一口气，在卷子最后写下：因此，2<1/a+1/b<e。

啪——

他放下手里的笔，检查了一遍卷子，確认没有漏题后直接站起身。

“老师，交卷。”

话音落下，教室里瞬间安静。几十双眼睛齐刷刷地抬起头，目光全盯向他。

“臥槽，这么快？”

“我才做倒第一道简答题......”

讲台上的冯宏毅原本低头看资料，听到声音愣了一下，抬头盯著楚若然：“还不到一个小时你就交卷了？”

......